Reportamos en este trabajo el análisis lexicográfico de las justificaciones dadas a una pregunta realizada a 195 estudiantes de tres colegios secundarios de la Ciudad de San Carlos de Bariloche, con el fin de obtener indicios de sus concepciones sobre el infinito y las posibles relaciones de las ideas manifiestas en estas justificaciones, con sus respuestas a otras preguntas. Encontramos principalmente que los estudiantes que aceptan como posible la construcción de un conjunto que tenga infinitos elementos y los diferencian de conjuntos muy numerosos, asientan básicamente su posición en que estos últimos contienen una cantidad determinada, que tiene límite y un fin. Los estudiantes que dudan en sus respuestas, manifiestan esencialmente dos tipos de justificaciones: una asociada a la posibilidad de contar los elementos y otra asociada al contexto de la pregunta en cuestión. Los estudiantes que identifican un número muy grande con infinito esencialmente sostienen esta posición aludiendo a un proceso que se repite y sigue en el tiempo.

Las actuales teorías del aprendizaje, enfatizan en el estudio de las concepciones de los estudiantes como punto de partida de la enseñanza, debido a que sostienen que para que el aprendizaje sea significativo (Ausubel, et al 1978/83) es necesario partir de las ideas que los aprendices ya poseen, interactuando con ellas a fin de enriquecerlas o modificarlas. Desde los años ochenta se han estudiado las concepciones de los sujetos ya no como plantearan Piaget y col. (1952; 1956; 1969) como una manifestación de estadios evolutivos, sino en relación con el nivel de pericia en dominios específicos (Pozo y Carretero, 1987- 1992, Carretero 1997). La Matemática actual se fundamenta en la Teoría de Conjuntos y ésta trabaja con diversos conceptos que involucran la noción de infinito. Consideramos que concebir una colección de infinitos elementos presentes simultáneamente requiere poner en juego procesos mentales de un notable nivel de abstracción, ya que el infinito es un concepto que carece de correlato directo en la naturaleza y su comprensión requiere, por ende, tratar las cantidades de modo muy diferente al que es habitual al interactuar con colecciones finitas. El concepto de infinito generalmente surge a partir de experiencias finitas, imaginando estas extendidas al infinito. Tall (2002) se refiere a esta forma personal de acercarse al concepto de infinito como infinito natural. Para un concepto dado, desarrollamos una imagen conceptual que consiste en "toda la estructura cognoscitiva que tiene que ver con el concepto, que incluye todas los imágenes mentales, propiedades y procesos asociados," Esta imagen conceptual se modifica con la experiencia y reflexión. Dado que varias partes de la imagen conceptual se desarrollan en tiempos diferentes y de modos diferentes; las conexiones usadas en una ocasión pueden ser diferentes de aquellas evocadas en otra. Nuestras imágenes conceptuales están llenas de experiencias parciales, que se concentran en ciertos aspectos de una situación, unidas por varias asociaciones. (Tall y Vinner, 1981 en Tall, 2000)

Con el objeto de indagar las concepciones de alumnos de secundaria respecto a aspectos básicos del infinito, realizamos el análisis de las respuestas a un cuestionario escrito, solicitadas a 195 estudiantes. Hemos utilizado métodos estadísticos multivariados: un Análisis Factorial de Correspondencias Múltiples (AFCM) y, posteriormente, una Clasificación Jerárquica. Los resultados nos permiten determinar cinco clases de estudiantes, según son sus modos de respuestas, que podemos identificar globalmente con las siguientes ideas: posibilidad de obtener colecciones infinitas e infinito distinguido de todo; duda e inseguridad en la respuesta; infinito asociado a muy numeroso, junto con infinito no es posible y en infinito está todo.

Este trabajo se encuadra en el proyecto de investigación “Aprendizaje de la demostración en geometría” cuyo objetivo general es estudiar el proceso de aprendizaje de la demostración por parte de estudiantes del profesorado en matemática en el contexto de la Geometría Euclídea. Con el objetivo particular de analizar la posible vinculación entre concepciones encontradas en nuestros estudiantes del Profesorado en Matemática y el enfoque con que se tratan los contenidos de geometría en nivel medio, reportamos en este trabajo el análisis del relevamiento realizado sobre la orientación con que tratan algunos libros de texto de primer año de nivel medio ( 8º de EGB) los contenidos de geometría. Estudiamos estas tendencias de los libros analizando en ellos: Cuánto del total de contenidos abordados corresponden a contenidos de geometría; si se realizan construcciones utilizando instrumentos de geometría (compás, regla, etc.) y qué peso tienen éstas, precisión en las definiciones, promoción de deducciones, analizando si se muestran ejemplos de demostraciones, pruebas, argumentaciones y/o justificaciones.